Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：∽；；；其中正确的结论有______．

Answer 1

【答案】

【解析】

①证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；

②由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，得到，由AE=AD=BC，得到，即CF=2AF；

③作DM∥EB交BC于M，交AC于N，证明DM垂直平分CF，即可证明；

④设AE=a，AB=b，则AD=2a，根据△BAE∽△ADC，得到，即b=a，可得tan∠CAD=．

如图，过D作DM∥BE交AC于N，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，

∵BE⊥AC于点F，

∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，

∴△AEF∽△CAB，故①正确；

∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴，

∵AE=AD=BC，

∴，即CF=2AF，

∴CF=2AF，故②正确；

作DM∥EB交BC于M，交AC于N，

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形，

∴BM=DE=BC，

∴BM=CM，

∴CN=NF，

∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DM垂直平分CF，

∴DF=DC，故③正确；

设AE=a，AB=b，则AD=2a，

由△BAE∽△ADC，

∴，即b=a，

∴tan∠CAD=，故④错误；

故答案为：①②③．