Question

4．如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′．
（1）当∠DAE=45°时，求证：DE=D′E；
（2）在（1）得条件下，猜想：BD²、DE²、CE²有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用旋转的性质得AD=AD′，∠DAD′=∠BAC=90°，再计算出∠EAD′=∠DAE=45°，则利用“SAS”可判断△AED≌△AED′，所以DE=D′E；
（2）由（1）知△AED≌△AED′得到ED=ED′，∠B=∠ACD′，再根据等腰直角三角形的性质得∠B=∠ACB=45°，则根据性质得性质得BD=CD′，∠B=∠ACD′=45°，所以∠BCD′=∠ACB+∠ACD′=90°，于是根据勾股定理得CE²+D′C²=D′E²，所以BD²+CE⁼=DE²．

解答 （1）证明：∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，
∴AD=AD′，∠DAD′=∠BAC=90°，
∵∠DAE=45°
∴∠EAD′=∠DAD′-∠DAE=90°-45°=45°，
∴∠EAD′=∠DAE，
在△AED与△AED′中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠EAD=∠EAD′}\\{AD=AD′}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△AED′，
∴DE=D′E；
（2）解：BD²+CE⁼=DE²．理由如下：
由（1）知△AED≌△AED′得到：ED=ED′，∠B=∠ACD′，
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD′
∴BD=CD′，∠B=∠ACD′=45°，
∴∠BCD′=∠ACB+∠ACD′=45°+45°=90°，
在Rt△CD′E中，CE²+D′C²=D′E²，
∴BD²+CE⁼=DE²．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．