Question

已知二次函数y=x²-mx+m-2：
（1）求证：不论m为任何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）当二次函数的图象经过点（3，6）时，确定m的值，并写出此二次函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）要证明二次函数的图象与x轴都有两个交点，证明二次函数的判别式是正数即可解决问题；
（2）把点（3，6）代入函数解析式中即可求出m的值，也可以求出二次函数的解析式．

解答：解：（1）∵二次函数y=x²-mx+m-2，
∴△=m²-4（m-2）=m²-4m+4+4=（m-2）²+4，
而（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4＞0，
∴二次函数的图象与x轴都有两个交点；

（2）∵二次函数的图象经过点（3，6），
∴6=9-3m+m-2，
∴m=

1

2

，
∴y=x²-

1

2

x-

3

2

．

点评：此题既考查了抛物线与x轴的交点情况，也考查了利用待定系数法求函数的解析式，解题的关键是掌握抛物线的交点个数与函数的判别式正负的对应关系才能熟练解决问题．