Question

如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE．求证：EC＝ED．

Answer 1

答案：
解析：

证法一：延长BD到F，使DF＝BC，连结EF，如图2．则BE＝AE＋AB＝BD＋DF＝BF，故△BEF为等边三角形，从而可证△BCE≌△FDE，所以EC＝ED． 　　证法二：过E作EF∥AC，交BD的延长线于F，如图2，则△BEF为等边三角形，以下同证法一． 　　证法三：在AE上截取EF＝BC，如图3．则AF＝CD，故AC∥DF，从而△BDF是等边三角形，DF＝BF＝AE，可证△ACE≌△FED，所以EC＝ED． 　　证法四：过D作DF∥AC交AE于F点，如图3，以下同证法三． 　　证法五：作EF∥BC交CA的延长线于F，如图4．则△AEF是等边三角形，从而可证 　　△CEF≌△EDB，所以EC＝ED． 　　证法六：作DF∥AB交AC的延长线于F，连结EF，如图5．则△CDF是等边三角形，故AF＝AC＋CF＝BC＋CD＝BD＝AE，从而∠AEF＝∠AFE＝30°，∠DFE＝30°，即EF是等腰△CFD的顶角平分线，所以EF垂直平分CD，由此得EC＝ED． 　　证法七：作EF⊥BD，垂足为F，如图6．则∠BEF＝30°，BE＝2BF，即AB＋AE＝2BC＋2CF，从而有BC＋2CF＝AE＝BD＝BC＋CD，即CD＝2CF，有CF＝DF，EF为CD的垂直平分线，所以有CE＝ED．