Question

已知△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=90°，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处．

（1）如图①，若BD=CD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F，求出重叠部分AEDF的面积（直接写出结果）．
（2）如图②，若BD=CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F，设AE=x，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）若BD=2CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F，另一条直角边交射线AB于点E．设CF=x（x＞1），重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由旋转的性质可得出重叠部分AEDF的面积等于三角形ABC面积的一半．
（2）过点D作DM⊥AB，则y=

1

2

BE•DM=

1

2

(3-x)•

3

2

=

3

4

（3-x）（0≤x≤3且x≠

3

2

）．
（3）分两种情况：①如图①，连接AD，过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为M，N．则y=

3

2

x+

1

2

（1＜x≤2）；
②如图②，过点D作AC的垂线，垂足为N，则y=

9

2

-

1

2

x（2＜x≤3）．

解答：解：（1）S四边形AEDF=

9

4

．

（2）过点D作DM⊥AB，垂足为点M，y=

1

2

BE•DM=

1

2

(3-x)•

3

2

=

3

4

（3-x）（0≤x≤3且x≠

3

2

）．
（3）①如图①，连接AD，过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为M，N．
∵AB=AC=3，∠BAC=90°，
∴BC=3

2

．
∵BD=2CD，
∴BD=2

2

，CD=

2

．
易得DN=1，DM=2，
易证∠EDM=∠FDN，
∵∠DME=∠DNF=90°，
∴△DME∽△DNF．
∴

ME

FN

=

DM

DN

．
∴ME=2（x-1）．
∴AE=2（x-1）+1=2x-1．
∴y=S△ADE+S△ADF=

1

2

(2x-1)•2+

1

2

(3-x)•1=

3

2

x+

1

2

(1＜x≤2)．
②如图③，过点D作AC的垂线，垂足为N，
∵AB=AC=3，∠BAC=90°，
∴BC=3

2

．
∵BD=2CD，
∴BD=2

2

，CD=

2

．
易得DN=1，
∴y=S△ABC-S△CDF=

9

2

-

1

2

x•1=

9

2

-

1

2

x(2＜x≤3)．
∴y=

3 2 x+ 1 2 (1＜x≤2) 9 2 - 1 2 x (2＜x≤3)

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质以及根据实际问题列一次函数的关系式．