Question

一条东西走向的高速公路上有两个加油站A、B，在A的北偏东45°方向还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30千米，B、C间的距离是60千米，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B、C的距离相等，请求出交叉口P与加油站A的距离．（结果可保留根号）

Answer 1

分析：P可能在线段AB上，也可能在AB的延长线上，因而应分两种情况进行讨论．

解答：解：分两种情况：（1分）
（1）如图1，在Rt△BDC中，∠B=30°，（1分）
在Rt△CDP中，∠CPD=60°，
DP=

CD

tan∠CPD

=10

3

千米，（1分）
在Rt△ADC中，AD=DC=30千米，（1分）
AP=AD+DP=（30+10

3

）千米．（1分）

（2）如图2，同（1）可求得DP=10

3

千米，AD=30千米，（1分）
AP=AD-DP=（30-10

3

）千米．（1分）
故交叉口P与加油站A的距离为（30±10

3

）千米．

点评：解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．