Question

如图，已知AB⊥MN，垂足为点B，P是射线BN上的一个动点，AC⊥AP，∠ACP=∠BAP，AB=4，BP=x，CP=y，点C到MN的距离为线段CD的长．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（2）在点P的运动过程中，点C到MN的距离是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示这段距离；如果不发生变化，请求出这段距离．

Answer 1

分析：（1）求y关于x的函数解析式，可以证明△ABP∽△CAP，根据相似比得出；
（2）C到MN的距离，即CD的长，可以延长CA交直线MN于点E，证得△EPC为等腰三角形，于是点A是EC的中点，则AB为△ECD的中位线，由三角形中位线定理求得CD=2AB=8．

解答：解：（1）∵AB⊥MN，AC⊥AP，
∴∠ABP=∠CAP=90°．
又∵∠ACP=∠BAP，
∴△ABP∽△CAP．
∴

BP

AP

=

AP

CP

．
即

x

x2+42

=

x2+42

y

，
∴所求的函数解析式为y=x+

16

x

（x＞0）；

（2）CD的长不会发生变化．
解法一：如图1，延长CA交直线MN于点E．
∵AC⊥AP，
∴∠PAE=∠PAC=90°．
∵∠ACP=∠BAP，
∴∠APC=∠APE．
∴∠AEP=∠ACP．
∴PE=PC．
∴AE=AC．
∵AB⊥MN，CD⊥MN，
∴AB∥CD．
∴AB是△ECD的中位线，
∵AB=4，
∴CD=2AB=8．
解法二：如备用图，过点C作CE⊥BA延长线于点E，AF⊥PC于点F．证出AE=AF=AB，于是CD=2AB=8．

点评：本题难度较大，考查相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．