Question

如图所示，在直角坐标系xOy中，一次函数y₁=k₁x+b （k₁≠0）的图象与反比例函数y2=

k 2

x

的图象交于A（1，4），B（3，m）两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）x取何值时，k₁x+b＞

k 2

x

．

Answer 1

分析：（1）（1，4）代入y=

k2

x

，易求k₂，从而可求反比例函数解析式，再把B点坐标代入反比例函数解析式，易求m，然后把A、B两点坐标代入一次函数解析式，易得关于k₁、b的二元一次方程，解可求k₁、b，从而可求一次函数解析式；
（2）设直线AB与x轴交于点C，再根据一次函数解析式，可求C点坐标，再根据分割法可求△AOB的面积；
（3）观察可知当x＜0 或1＜x＜3 时，k₁x+b＞

k 2

x

．

解答：解：（1）把（1，4）代入y=

k2

x

，得
k₂=4，
∴反比例函数的解析式是y=

4

x

，
当x=3时，y=

4

3

，
∴m=

4

3

，
把（1，4）、（3，

4

3

）代入y₁=k₁x+b中，得

k1+b=4 3k1+b= 4 3

，
解得

k1=- 4 3 b= 16 3

，
∴一次函数的解析式是y=-

4

3

x+

16

3

；
（2）设直线AB与x轴交于点C，
当y=0时，x=4，
故C点坐标是（4，0），
∴S_△AOB=S_△AOC-S_△BOC=

1

2

×4×4-

1

2

×4×

4

3

=8-

8

3

=

16

3

；
（3）在第一象限，当1＜x＜3时，k₁x+b＞

k 2

x

；
还可观察可知，当x＜0时，k₁x+b＞

k 2

x

．
∴x＜0 或1＜x＜3．

点评：本题考查看待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是先求出反比例函数，进而求B点坐标，然后求出一次函数的解析式．