Question

在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A2B2 C2C1…按这样的规律进行下去，第3个正方形的面积为

 

；第n个正方形的面积为

 

（用含n的代数式表示）．

Answer 1

分析：根据相似三角形的判定原理，得出△AA₁B∽△A₁A₂B₁，继而得知∠BAA₁=∠B₁A₁A₂；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算三个正方形的面积，从中找出规律．

解答：解：设正方形的面积分别为S₁，S₂…，S_n，
根据题意，得：AD∥BC∥C₁A₂∥C₂B₂，
∴∠BAA₁=∠B₁A₁A₂=∠B₂A₂x（同位角相等）．
∵∠ABA₁=∠A₁B₁A₂=∠A₂B₂x=90°，
∴△BAA₁∽△B₁A₁A₂，
在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD=

5

，tan∠ADO=

OA

OD

=

1

2

，
∵tan∠BAA₁=

BA1

AB

=tan∠ADO，
∴BA₁=

1

2

AB=

5

2

，
∴CA₁=

5

+

5

2

，
同理，得：C₁A₂=

5

2

×（1+

1

2

）
由正方形的面积公式，得：S₁=（

5

）²，
S₂=（

5

）²×（1+

1

2

）²，
S₃=（

5

）²×（1+

1

2

）⁴=5×（

3

2

）⁴，
由此，可得S_n=（

5

）²×（1+

1

2

）^2（n-1）=5×（

3

2

）^2n-2．
故答案为：5×（

3

2

）⁴；5×（

3

2

）^2n-2．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质等知识．解此题的关键是找到规律S_n=（

5

）²×（1+

1

2

）^2（n-1）=5×（

3

2

）^2n-2．