Question

小明家打算建一个苗圃，苗圃的两边靠墙（这两堵墙互相垂直），另外的部分用30米长的篱笆围成．小明的爸爸提出一个问题：怎样围才能使苗圃的面积尽可能地大？小明思考后，设计了以下三种方案：
方案一：围成斜边为30米的等腰直角三角形（如图1）；
方案二：围成边长为15米的正方形（如图2）；
方案三：围成直角梯形，其中∠BCD=120°（如图3）．
解答下列问题：
（1）分别计算方案一、方案二中苗圃的面积S₁，S₂，并比较S₁，S₂的大小；
（2）设方案三中CD的长为x米，苗圃的面积为S₃平方米，求S₃与x之间的函数关系式，并求出S₃的最大值；（参考数据：取1.74，π取3.15）

Answer 1

解：（1）∵围成斜边为30米的等腰直角三角形，
∴直角边长为30sin45°，
∴S₁=×（30sin45°）2=225 m²，
∵围成边长为15米的正方形，
∴S₂=15×15=225 m²．

（2）过点C作CE⊥AD
∵∠BCD=120°，
∴EC=x•in60°，ED=x，BC=30-x，AE=30-x，
∴S₃=×（30-x+30-x+x）×x×sin60°
=15x-x2
=-（x-20）2+150
∴当x=20时，S₃取得最大值，为150．
分析：（1）由三角形和正方形的面积公式求得S₁、S₂的大小；
（2）根据直角梯形面积公式列出函数关系式并求得最大值．
点评：此题主要考查了二次函数的应用以及锐角三角函数的应用等知识，根据已知得出图形的各边长是解题关键．