Question

如图1所示：AM∥DN，AE、DE分别平分∠MAD和∠AND，并交于E点. 过点E的直线分别交AM、DN于B、C.

（1）如图2，当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：_______________________________.

（2）试证明你的猜想.

（3）若点B、C分别位于点AD的两侧时，试写出AD、AB、CD之间的关系，并选择一个写出证明过程。

　　　　　　　　　　 图1　　　　　　　　　　　　　　　　 　 图2

Answer 1

 (1)AD=AB+CD………………………………1分

(2)证明：在AD上截取AF=AB,连接EF.

∵AE平分∠BAD

∴∠BAE=∠FAE

在△ABE和△AFE中

   AB=AF

∠BAE=∠FAE

   AE=AE

∴△ABE≌△AFE………………………………2分

∴∠ABC=∠AFE

∵ AB∥CD

∴∠ABC+∠BCD=180°

又∵∠AFE+∠DFE=180°

∴∠DFE=∠C

∵DE平分∠ADC

∴∠ADE=∠CDE

在△FDE和△CDE中

∠DFE=∠C

∠ADE=∠CDE

DE=DE

∴△FDE≌△CDE ……………………………3分

∴DF=CD

∴AF+DF=AB+CD

即AD=AB+CD………………………………….4分

（3）证明：

第一种情况：当点B位于点A左侧，点C位于点D右侧时，DC=AD+AB. …………………5分

               

在CD上截取DF=AD,连接EF.

∵DE平分∠ADC

∴∠ADE=∠CDE

在△ADE和△FDE中

DA=DF

∠ADE=∠CDE

DE=DE

∴△ADE≌△FDE……………………………….6分

∴EA=EF

∠DAE=∠DFE

∵AE平分∠DAM

∴∠DAE=∠EAM

∴∠DFE=∠EAM

又∵∠BAE+∠EAM=180°

    ∠DFE+∠CFE=180°

∴∠BAE=∠CFE

∵AM∥DN

∴∠ABC=∠BCD

在△BAE和△CFE中

 ∠BAE=∠CFE

∠ABC=∠BCD

 EA=EF

∴△BAE≌△CFE

∴AB=FC

∵DC=DF+FC

∴DC=AD+AB………………………………………..7分

第二种情况：当点B位于点A右侧，点C位于点D左侧时，AB=AD+CD.……………….5分.

在AB上截取AF=AD,连接EF

∵AE平分∠BAD

∴∠BAE=∠DAE

在△ADE和△AEF中

AF=AD

∠BAE=∠DAE

AE=AE

∴△AEF≌△AED………………………………………………6分

∴EF=ED

∴∠AFE=∠ADE

∵DE平分∠ADN

∴∠ADE=∠EDN

∴∠AFE=∠EDN

又∵∠AFE+∠BFE=180°

    ∠EDN+∠EDC=180°

∴∠BFE=∠EDC

∵AM∥DN

∴∠ABC=∠BCD

在△BEF和△CED中

 ∠BFE=∠EDC

∠ABC=∠BCD

 DE=EF

∴△BFE≌△CDE

∴CD=BF

∵AB=AF+FB

∴AB=AD+CD…………………………………………………7分