Question

（2013•顺义区二模）问题：如果存在一组平行线a∥b∥c，请你猜想是否可以作等边三角形ABC使其三个顶点分别在a、b、c上？
小明同学的解答如下：如图1所示，过点A作AM⊥b于M，作∠MAN=60°，且AN=AM，过点N作CN⊥AN交直线c于点C，在直线b上取点B使BM=CN，则△ABC为所求．

（1）请你参考小明的作法，在图2中作一个等腰直角三角形DEF使其三个顶点分别在a、b、c上，点D为直角顶点；
（2）若直线a、b之间的距离为1，b、c之间的距离为2，则在图2中，S_△DEF=

5

，在图1中AC=

2

3

21

．

Answer 1

分析：（1）在a上取一点D，作DH⊥b于H，在a上取点M使DM=DH，作MF⊥DM于M交c于点F，在b上取一点E使HE=MF，连接DE，DF，EF，则△DEF是所求作的三角形；
（2）由作图可以由勾股定理得出DF的值，在图1中，过点N作HG⊥a于H，交c于点G，由勾股定理先求出CN的值就可以求出AC的值．

解答：解：（1）如图2，①在a上取一点D，作DH⊥b于H，
②在a上取点M使DM=DH，
③作MF⊥DM于M交c于点F，
④在b上取一点E使HE=MF，
⑤连接DE，DF，EF，
∴△DEF是所求作的三角形．

（2）∵a、b之间的距离为1，b、c之间的距离为2，
∴DM=DH=1，MF=1+2=3．
在Rt△FDM中，由勾股定理，得
DF=

1+9

=

10

．
∴S_△DEF=

1

2

×（

10

）²=5．
如图1，过点N作HG⊥a于H，交c于点G，
∴∠AHN=∠NGC=90°．
∵∠MAN=60°，
∴∠HAN=30°，
∴HN=

1

2

AN．∠ANH=60°．
∵AM=AN=1，
∴HN=0.5．
∴HG=2.5．
∵CN⊥AN，
∴∠ANC=90°，
∴∠ANH+∠CNG=90°，
∴∠CNG=30°，
∴CN=2CG，
在Rt△CGN中，由勾股定理，得
4CG²-CG²=

25

4

，
CG=

5

6

3

，
∴CN=

5

3

3

．
在Rt△ANC中，由勾股定理，得
AC²=（

5

3

3

）²+1，
∴AC=

2

3

21

．
故答案为：5，

2

3

21

．

点评：本题考查了作图的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的性质的运用，解答时合理运用全等三角形的性质是关键．