Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，连接AD，点P在AD上，连接PC、PB．若tan∠CPD=2，PB=

13

，且△APC与△BPC的面积相等，则AB的长为

 

．

Answer 1

分析：延长CP，过点A点B分别作AE⊥CE，BF⊥CF，CF交AB于O，过P作PN⊥AB于N，设AB=AC=2a，求出AE=BF，求出AO=BO=a，求出AO=AP=a，求出OE、PE、求出OP、求出ON、PN、求出BN、在Rt△BNP中，根据勾股定理即可求出a．

解答：
解：延长CP，过点A点B分别作AE⊥CE，BF⊥CF，CF交AB于O，过P作PN⊥AB于N，
设AB=AC=2a，
∵S_△APC=S_△BPC，
∴CP×AE=CP×BF，
∴AE=BF
∵∠AOE=∠BOF，∠BFO=∠AEO=90°，
∴在△BFO和△AEO中

∠FOB=∠EOA ∠F=∠AEO BF=AE

∴△BFO≌△∠AEO，
∴AO=BO=a，
在RT△OAC中，tan∠AOC=

AC

AO

=2，
∵tan∠APO=tan∠CPD=2，
∴tan∠AOP=tan∠APO，
∴∠AOP=∠APO，
∴AP=AO=a，
在Rt△AEO中，tan∠AOP=2=

AE

OE

，
∴AE=2OE，
∵AO=a，由勾股定理得：OE²+（2OE）²=a²，
OE=

5

5

a，
∵AO=AP，AE⊥OP，
∴OE=PE=

5

5

a，
∴OP=

2 5

5

a，
在Rt△OPN中，tan∠AOP=2=

PN

ON

，
∴PN=2ON，
∵OP=

2 5

5

a，由勾股定理得：ON²+（2ON）²=（

2 5

5

a）²，
∴ON=

2

5

a，PN=2ON=

4

5

a，BN=a+

2

5

a=

7

5

a，
在Rt△PNB中，由勾股定理得：BN²+PN²=BP²，
（

7

5

a）²+（

4

5

a）²=（

13

）²，
a=

2

，
∴AB=2a=2

5

，
故答案为：2

5

．

点评：本题考查了勾股定理，等腰直角三角形，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，综合性比较强，难度偏大．