题目内容

△ABC中，三边长a、b、c满足 $数学公式$ ，且关于x的方程 $数学公式$ 有两个相等的实数根．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求△ABC的面积．

解：（1）根据题意得 $\text{[math]}$ ，
∴a+b=9，
∴c=0+0+5 $\text{[math]}$ =5 $\text{[math]}$ ，
∵△=4a²-4（5 $\text{[math]}$ +b）（5 $\text{[math]}$ -b）=0，
∴a²+b²=（5 $\text{[math]}$ ）²，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC是以c为斜边的直角三角形；
（2）∵△ABC是以c为斜边的直角三角形，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ ab，
∵a+b=9，
∴a²+2ab+b²=81，
∴75+2ab=81，
∴ab=3，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据二次根式有意义的条件易得a+b=9，c=5 $\text{[math]}$ ，再根据根的判别式得到△=4a²-4（5 $\text{[math]}$ +b）（5 $\text{[math]}$ -b）=0，变形有a²+b²=（5 $\text{[math]}$ ）²，
则a²+b²=c²，然后根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状；
（2）由a+b=9得到a²+2ab+b²=81，则75+2ab=81，所以ab=3，然后根据直角三角形面积公式计算即可．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了二次根式有意义的条件以及勾股定理的逆定理．