Question

已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E。

⑴求证：点D是AB的中点；
⑵判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
⑶若⊙O的直径为18，cosB=，求DE的长。

Answer 1

解：（1）证明：连接CD，则CD⊥AB， 又∵AC=BC，CD=CD， ∴， ∴AD=BD，即点D是AB的中点； （2）DE是⊙O的切线； 理由是：连接OD，则DO是△ABC的中位线， ∴DO∥AC， 又∵DE⊥AC， ∴DE⊥DO，即DE是⊙O的切线； （3）∵AC=BC， ∴∠B=∠A， ∴cos∠B=cos∠A=， ∵cos∠B=，BC=18， ∴BD=6， ∴AD=6， ∵cos∠A=， ∴AE=2， 在Rt△AED中，DE=。