Question

【题目】如图，已知二次函数（）的图象与轴交于点和点，与交轴于点，表示当自变量为时的函数值，对于任意实数，均有．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）点是线段上的动点，过点作，交于点，连接．当的面积最大时，求点的坐标；

（3）若平行于轴的动直线与该抛物线交于点，与直线交于点，点的坐标为．是否存在这样的直线，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为：或或或

【解析】

（1）根据题意即可求出抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性即可求出点A的坐标，设二次函数的解析式为，将点C的坐标代入即可求出二次函数的解析式，化为一般式即可；

（2）设点的坐标为，过点作轴于点，根据点A、B、C的坐标即可求出OA、OB、OC、BQ和AB，根据相似三角形的判定及性质，即可用含m的式子表示EG，然后根据即可求出与m的二次函数关系式，根据二次函数求最值即可；

（3）根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别在每种情况下求出点F的坐标，然后根据点P和点F的纵坐标相等，将点P的纵坐标代入二次函数解析式中即可求出点P的横坐标．

解：（1）当与时函数值相等，可知抛物线的对称轴为，

由点的坐标可求得点的坐标为

设二次函数的解析式为

将点代入，得

所以，二次函数的解析式为．

（2）设点的坐标为，过点作轴于点，如图

∵（4,0），， ，

∴OA=4，OB=2，OC=4， BQ=m+2

∴AB=6

∵

∴

∵

∴

∴，即，

∴

∴

又∵

∴当时，有最大值3，此时

（3）存在．

①若，如下图所示

则，

∴∠DOF=∠DFO，∠DAF=∠DFA

∴∠DOF+∠DAF=∠DFO+∠DFA=∠OFA

∴是直角三角形，OF⊥AC

∵OA=OC=4

∴点F为AC的中点

∴根据中点坐标公式：点的坐标为

∵直线l∥x轴

∴点P的纵坐标=点F的纵坐标=2，将y=2代入二次函数解析式中，得

，

得，

此时点的坐标为：或

②若，过点作轴于点

由等腰三角形的性质得：，

∴，

在等腰直角三角形AOC中，∠OAC=45°

∴△AMF也是等腰直角三角形

∴FM=AM=3

∴

∵直线l∥x轴

∴点P的纵坐标=点F的纵坐标=3，将y=3代入二次函数解析式中，得

由，得，

此时，点的坐标为：或

③若，

∵，且

∴

∴点到的距离为

而

∴上不存在点使得

此时，不存在这样的直线，使得是等腰三角形

综上，存在这样的直线，使得是等腰三角形，所求点的坐标为：或或或