Question

）如图，已知抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）证明：四边形AOBC的两条对角线互相垂直；

（3）在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的▱DEFG？（顶点D，E，F，G分别在线段AO，OB，BC，CA上，且不与四边形AOBC的顶点重合）若能，求出▱DEFG的最大面积，并求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

 解：（1）设该抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，

根据题意得，解得，

∴抛物线的表达式为y=x²﹣x+4；

（2）如图1，连结AB、OC，

∵A（4，0），B（0，4），C（6，6），

∴OA=4，OB=4，CB==2，CA==2，

∴OA=OB，CA=CB，

∴OC垂直平分AB，

即四边形AOBC的两条对角线互相垂直；

（3）能．

如图2，AB==4，OC==6，设D（t，0），

∵四边形DEFG为平行四边形，

∴EF∥DG，EF=DG，

∵OC垂直平分AB，

∴△OBC与△OAC关于OC对称，

∴EF和DG为对应线段，

∴四边形DEFG为矩形，DG∥OC，

∴DE∥AB，

∴△ODE∽△OAB，

∴=，即=，解得DE=t，

∵DG∥OC，

∴△ADG∽△AOC，

∴=，即=，解得DG=（4﹣t），

∴矩形DEFG的面积=DE•DG=t•（4﹣t）=﹣3t²+12t=﹣3（t﹣2）²+12，

当t=2时，平行四边形DEFG的面积最大，最大值为12，此时D点坐标为（2，0）．