Question

已知：关于x的两个方程
2x²+（m+4）x+m-4=0，①
与mx²+（n-2）x+m-3=0，②
方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根．
（1）求证方程②的两根符号相同；
（2）设方程②的两根分别为α、β，若α：β=1：2，且n为整数，求m的最小整数值．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得到判别式△＞0，求得m的范围，两根的符号相同即两根的积是正数即可．
（2）根与系数的关系列出不等式组求其解集即可．

解答：证明：（1）∵方程2x²+（m+4）x+m-4=0两个不相等的负实数根，
∴设这两个负实数根分别为x₁，x₂
∴

△1＞0 x1+x2＜0 x1•x2＞0

即

(m+4)2-4×2(m-4)＞0 - m+4 2 ＜0 m-4 2 ＞0

解不等式组，得m＞4，
由方程②有两个实数根，可知m≠0，
∴当m＞4时，

m-3

m

＞0，即方程②的两根之积为正，
∴方程②的两根符号相同；

解：（2）∵方程②的两根分别为α、β，且α：β=1：2，
∴β=2α
由

m≠0 α+β=3β=- n-2 m ① α•β=2α 2= m-3 m ②

m≠0 α+β=3α=- n-2 m ① α•β=2α 2= m-3 m ②

把①代入②得

(n-2)2

9m2

=

m-3

2m

∴（n-2）²=

9

2

m（m-3），
由（1）知，m＞4，又m为整数，
m=6时，（n-2）²=

9

2

×6×3=81
解得n=11或n=-7
当m=6，n=11时，△₁=（n-2）²-4m（m-3）＞0，
当m=6，n=-7时，△₂=（n-2）²-4m（m-3）＞0，
∴m的最小整数值为6．

点评：（1）一元二次方程根的两根同号的条件是判别式△≥0，且两根的积大于0，即

c

a

＞0；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到关于方程两根的和与积的值，可以用来简化运算．