Question

如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°，若AB=2，则CD的长为________．

Answer 1

2
分析：先过A、C作CD和AB边上是高，垂足分别是E、F，并设BF=x，由于CF⊥AB，∠ABC=45°，易知△BCF是等腰直角三角形，那么CF=BF=x，再结合∠ACB=105°，易求∠ACF=60°，那么∠CAF=30°，利用直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，可得AC=2x，可知AB=x+x，同理易求CD=x+x，那么CD=AB，而AB=2，那么CD=2．
解答：解：如右图所示，
分别过A、C作CD和AB边上是高，垂足分别是E、F，
设BF=x，
∵CF⊥AB，∠ABC=45°，
∴∠BCF=∠ABC=45°，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴CF=BF=x，
∵∠ACB=105°，
∴∠ACF=105°-45°=60°，
在Rt△ACF中，∠CAF=30°，那么AC=2x，AF=x，
∴AB=x+x，
同理可得△ADE是等腰直角三角形，∠FAC=105°-30°-45°=30°，
在Rt△AEC中，CE=x，AE=x，
∴CD=x+x，
∴CD=AB=2．
故答案是2．
点评：本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线AE、CF，构造直角三角形，求出相应角的度数．