Question

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点．
①若∠A=70°，求∠BOC的度数；
②若∠A=n°，求∠BOC的度数；
③若∠BOC=3∠A，求∠A的度数；
④过点O作EF∥BC，若AB=5，AC=4，求△AEF的周长．

Answer 1

解：①在△ABC中，由∠A=70°，得∠ABC+∠ACB=110°，
∵BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°．

②在△ABC中，由∠A=n°，得∠ABC+∠ACB=180°-n°，
∵BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴．

③设∠A=n°，则=3n°，
解得n=36°，即∠A=36°．

④∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，
又∠EBO=∠OBC，
∴∠EOB=∠EBO，
∴EB=EO，
同理FO=FC，
∴AE+AF+EF=AE+AF+EO+FO=AE+AF+EB+FC=5+4=9，
即△AEF的周长为9．
分析：根据三角形的内角和定理以及角平分线的概念推导∠BOC和∠A之间的关系；还要注意等腰三角形的判定方法．
点评：此题考查了三角形内角和定理和角平分线性质，特别注意此题中，∠BOC和∠A之间的关系：∠BOC=90°+∠A．