Question

已知抛物线y=ax²+bx﹣1经过点A（-1，0）、B（m，0）（m＞0），且与y轴交于点C。
（1）求抛物线对应的函数表达式（用含m的式子表示）；
（2）如图，⊙M经过A、B、C三点，求扇形MBC（阴影部分）的面积S（用含m的式子表示）；
（3）若抛物线上存在点P，使得△APB∽△ABC，求m的值。

Answer 1

解：（1）∵点（﹣1，0）、（m，0）在抛物线y=ax2+bx﹣1上 ∴， 解得 ∴抛物线对应的函数表达式为：； （2）在抛物线对应的函数表达式中，令x=0，得y=﹣1， ∴点C坐标为（0，﹣1） ∴OA=OC， ∴∠OAC=45°， ∴∠BMC=2∠OAC=90° 又∵BC=， ∴MB=MC=BC ∴； （3）如图，∵△ABC∽△APB， ∴∠PAB=∠BAC=∠45°， 过点P作PD⊥x轴，垂足为D，连接PA、PB 在Rt△PDA中， ∵∠PAB=∠APD=45°， ∴PD=AD 设点P坐标为（x，x+1）， ∵点P在抛物线上 ∴， 即x2+（1﹣2m）x﹣2m=0， 解得x1=﹣1，x2=2m， ∴P1（2m，2m+1），P2（﹣1，0）（不合题意，舍去） 此时AP=PD=（2m+1）， 又由，得AC·AP=AB2 则（2m+1）=（m+1）2， 整理，得m2﹣2m﹣1=0 解得（舍去）， m的值是m=（只取正值）。