Question

如图，在Rt△POQ中，OP=OQ=5，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B．

（1）求证：MA=MB；

（2）探究：在旋转三角尺的过程中，四边形AOBM的面积是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出四边形AOBM的面积．

Answer 1

1）证明：如图，过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，

∵∠O=90°，

∴四边形OEMF是矩形，

∵M是PQ的中点，OP=OQ=4，∠O=90°，

∴ME=OQ=2，MF=OP=2，

∴ME=MF，

∴四边形OEMF是正方形，

∵∠AME+∠AMF=90°，∠BMF+∠AMF=90°，

∴∠AME=∠BMF，

在△AME和△BMF中，

，

∴△AME≌△BMF（ASA），

∴MA=MB；

（2）解：四边形AOBM的面积不发生变化；

理由：由（1）得出：AE=FB，OF=FQ=OE，

∴BQ=FQ﹣BF=EO﹣AE=AO，

∴PA+BQ=PO=5，

∵四边形AOBM的面积为：S_△POQ﹣S_△MPA﹣S_△MQB=×PO×QO﹣（PA+BQ）×ME=×5×5﹣×5×=．