题目内容
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=20．动点P从点D出发，在线段DA上以每秒2个单位长的速度向点A运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）作PE⊥BC于点E，则四边形PDCE是矩形，根据题意可得出BQ=16-t，即可得出S与t之间的函数关系式，以及自变量t的取值范围；
（2）分为三种情况：①若PB=PQ，②若QB=QP，③若BQ=BP，分别求出t即可；
（3）假设存在某一时刻t，使得PQ⊥BD，作QM⊥AD于点M，因为AD∥BC，则1+∠2=90°，由PQ⊥BD，得∠3=∠2，可证明Rt△PMQ∽Rt△DCB，从而得出t．
（2）分为三种情况：①若PB=PQ，②若QB=QP，③若BQ=BP，分别求出t即可；
（3）假设存在某一时刻t，使得PQ⊥BD，作QM⊥AD于点M，因为AD∥BC，则1+∠2=90°，由PQ⊥BD，得∠3=∠2，可证明Rt△PMQ∽Rt△DCB，从而得出t．
解答：
解：（1）作PE⊥BC于点E，则四边形PDCE是矩形，
∴PE=DC=12，∵CQ=t，∴BQ=16-t，
∴S=
(16-t)×12=-6t+96（0≤t≤10）
（2）①若PB=PQ，∵PE⊥BC，∴BE=QE，∵EC=PD=2t，
∴BE=16-2t，QE=2t-t=t
∴16-2t=t，解得t=
②若QB=QP，作QF⊥AD于点F，在Rt△PFQ中，
∵FQ=CD=12，PF=2t-t=t，∴QP2=t2+144，∵QB2=（16-t）2
∴t2+144=（16-t）2，整理得32t=112，解得t=
，
③若BQ=BP，在Rt△PBE中，∵PE=CD=12，BE=16-2t
∴PB2=（16-2t）2+144
∴（16-2t）2+144=（16-t）2，整理得3t2-32t+144=0，
∵△=322-12×144=-704＜0，
∴该方程没有实数根，故BQ≠BP，
∴t=
或t=
时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形
（3）假设存在某一时刻t，使得PQ⊥BD，作QM⊥AD于点M
∵AD∥BC，∠C=90°，∴∠ADC=90°，∴∠1+∠2=90°，
∵PQ⊥BD，∴∠1+∠3=90°，∴∠3=∠2，
∴Rt△PMQ∽Rt△DCB，
∴
=
，∴
=
，
解得t=9，
∴当t=9时，PQ⊥BD．
解：（1）作PE⊥BC于点E，则四边形PDCE是矩形，∴PE=DC=12，∵CQ=t，∴BQ=16-t，
∴S=
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（2）①若PB=PQ，∵PE⊥BC，∴BE=QE，∵EC=PD=2t，
∴BE=16-2t，QE=2t-t=t
∴16-2t=t，解得t=
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②若QB=QP，作QF⊥AD于点F，在Rt△PFQ中，
∵FQ=CD=12，PF=2t-t=t，∴QP2=t2+144，∵QB2=（16-t）2
∴t2+144=（16-t）2，整理得32t=112，解得t=
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③若BQ=BP，在Rt△PBE中，∵PE=CD=12，BE=16-2t
∴PB2=（16-2t）2+144
∴（16-2t）2+144=（16-t）2，整理得3t2-32t+144=0，
∵△=322-12×144=-704＜0，
∴该方程没有实数根，故BQ≠BP，
∴t=
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（3）假设存在某一时刻t，使得PQ⊥BD，作QM⊥AD于点M
∵AD∥BC，∠C=90°，∴∠ADC=90°，∴∠1+∠2=90°，
∵PQ⊥BD，∴∠1+∠3=90°，∴∠3=∠2，
∴Rt△PMQ∽Rt△DCB，
∴
| PM |
| DC |
| QM |
| BC |
| 2t-t |
| 12 |
| 12 |
| 16 |
解得t=9，
∴当t=9时，PQ⊥BD．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，是中考压轴题，难度较大．
练习册系列答案
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