题目内容
如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12．动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．运动时间为t秒．（1）当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于多少秒？
（2）设五边形ABQPD的面积为S，写出S与t的函数关系式．
（3）PQ能否平分梯形ABCD，说明理由．
（4）当t为何值时，P、Q、C三点构成直角三角形．
【答案】分析：（1）设P点离开D点的t秒时PQ∥AB，过点D作DM∥AB交BC于点M，则PQ∥MD，PC=5-t，CQ=2t，由相似三角形的性质即可求出t的值；
（2）分别过点A、P，作AE⊥BC，PG⊥BC，先由等腰梯形的性质求出BE的长，再由勾股定理求出AE的长，根据∠B=∠C，用t表示出PG的长，再由S五边形ABQPD=S梯形ABCD-S△PQC即可得出结论；
（3）由（2）可知，S梯形ABCD=36，PG=4-
t，假设PQ能平分梯形ABCD，则S△PQC=18，由此可得出关于t的一元二次方程，求出此方程无解即可；
（4）分别当∠PQC=90°时，易证，△CQP∽△CND，当∠CPQ=90°时，易证△CQP∽△CDN，进而得出即可．
解答：
解：（1）设P点离开D点的t秒时PQ∥AB，过点D作DM∥AB交BC于点M，则PQ∥MD，PC=5-t，CQ=2t，
∵AB∥MD，PQ∥AB，
∴PQ∥MD，
∴
=
，
∵CD=5，AD=6，BC=12，
∴MC=BC-BM=12-6=6，
∴
=
，
解得t=
（秒）；
（2）如图2，分别过点A、P，作AE⊥BC，PG⊥BC，
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=12，
∴BE=
=
=3，
∵AB=5，
∴AE=
=
=4，
∴sinB=
=
，
∵∠B=∠C，sinC=
=
，
∴
=
，
解得PG=4-
t，
∴S五边形ABQPD=S梯形ABCD-S△PQC=
×（6+12）×4-
×2t×（4-
t），即S=
t2-4t+36（0＜t≤5）；
（3）不能．
∵由（2）可知，S梯形ABCD=36，PG=4-
t，假设PQ能平分梯形ABCD，则S△PQC=18，
∴
×2t×（4-
t）=18，即2t2-10t+45=0，
∵△=（-10）2-4×2×45=-260＜0，
∴此方程无解，
∴PQ不能平分梯形ABCD；
（4）如图3，过点D作DN⊥BC于点N，
∵当∠PQC=90°时，△CQP∽△CND，
∴
=
，
=
，解得t=
；
如图4，过点D作DN⊥BC于点N，
∵当∠CPQ=90°时，△CQP∽△CDN，
∴
=
，
=
，解得t=
．
综上所述，当t=
或t=
时点P、Q、C三点构成直角三角形．
点评：本题考查的是相似形综合题及等腰梯形的性质、锐角三角函数的定义，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形及直角三角形是解答此题的关键．
（2）分别过点A、P，作AE⊥BC，PG⊥BC，先由等腰梯形的性质求出BE的长，再由勾股定理求出AE的长，根据∠B=∠C，用t表示出PG的长，再由S五边形ABQPD=S梯形ABCD-S△PQC即可得出结论；
（3）由（2）可知，S梯形ABCD=36，PG=4-
t，假设PQ能平分梯形ABCD，则S△PQC=18，由此可得出关于t的一元二次方程，求出此方程无解即可；（4）分别当∠PQC=90°时，易证，△CQP∽△CND，当∠CPQ=90°时，易证△CQP∽△CDN，进而得出即可．
解答：
解：（1）设P点离开D点的t秒时PQ∥AB，过点D作DM∥AB交BC于点M，则PQ∥MD，PC=5-t，CQ=2t，∵AB∥MD，PQ∥AB，
∴PQ∥MD，
∴
=，∵CD=5，AD=6，BC=12，
∴MC=BC-BM=12-6=6，
∴
=，解得t=
（秒）；（2）如图2，分别过点A、P，作AE⊥BC，PG⊥BC，
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=12，
∴BE=
==3，∵AB=5，
∴AE=
==4，∴sinB=
=，∵∠B=∠C，sinC=
=，∴
=，解得PG=4-
t，∴S五边形ABQPD=S梯形ABCD-S△PQC=
×（6+12）×4-×2t×（4-t），即S=t2-4t+36（0＜t≤5）；（3）不能．
∵由（2）可知，S梯形ABCD=36，PG=4-
t，假设PQ能平分梯形ABCD，则S△PQC=18，∴
×2t×（4-t）=18，即2t2-10t+45=0，∵△=（-10）2-4×2×45=-260＜0，
∴此方程无解，
∴PQ不能平分梯形ABCD；
（4）如图3，过点D作DN⊥BC于点N，
∵当∠PQC=90°时，△CQP∽△CND，
∴
=，=，解得t=；如图4，过点D作DN⊥BC于点N，
∵当∠CPQ=90°时，△CQP∽△CDN，
∴
=，=，解得t=．综上所述，当t=
或t=时点P、Q、C三点构成直角三角形．点评：本题考查的是相似形综合题及等腰梯形的性质、锐角三角函数的定义，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形及直角三角形是解答此题的关键．
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