Question

【题目】如图，抛物线y= x2﹣2x﹣6 与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点，点E在抛物线上，且横坐标为4 ，AE与y轴交F．

（1）求抛物线的顶点D和F的坐标；
（2）点M，N是抛物线对称轴上两点，且M（2 ，a），N（2 ，a+ ），是否存在a使F，C，M，N四点所围成的四边形周长最小，若存在，求出这个周长最小值，并求出a的值；
（3）连接BC交对称轴于点P，点Q是线段BD上的一个动点，自点D以2 个单位每秒的速度向终点B运动，连接PQ，将△DPQ沿PQ翻折，点D的对应点为D′，设Q点的运动时间为t（0≤t≤ ）秒，求使得△D′PQ与△PQB重叠部分的面积为△DPQ面积的 时对应的t值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y= x2﹣2x﹣6 = （x﹣2 ）2﹣8 ，

∴顶点D坐标（2 ，﹣8 ），

由题意E（4 ，﹣8 ），A（﹣2 ，0），B（6 ，0），

设直线AE解析式为y=kx+b，则有 ，解得 ，

∴直线AE解析式为y=﹣x﹣2 ，

∴点F坐标（0，﹣2 ）

（2）

解：如图1中，作点F关于对称轴的对称点F′，连接FF′交对称轴于G，在CF上取一点C′，使得CC′= ，连接C′F′与对称轴交于点N，此时四边形CMNF周长最小．

∵四边形CMNF的周长=CF+NM+CM+FN=5 +CM+NF，CM+NF=C′N+NF=C′N+NF′=C′F′（两点之间线段最短），

∴此时四边形CMNF的周长最小．

∵C′F=3

∴GN= C′F= ，

∴﹣（a+ ）=2 + ，

∴a=﹣ ，

∵C′F′= =5 ，

∴四边形CMNF的周长最小值=5 +5 =10

（3）

解：如图2中，作PF⊥BD于F，QH⊥对称轴于H．

由题意可知BD= =4 ，DQ=2 t，

∵S△PQG= S△DPQ= S△PD′Q，

∴PG= PD′= PD=2 = BF，

情形①PG∥FB时，∵PF=PD，

∴BG=GD，

∴PG= BF=2 ，

在Rt△QHD中，sin∠HDQ= ，DQ=2 t，

∴HQ=2 t，HD=4 t，

∵∠QPD′=∠QPD=45°，

∴PH=HQ=2 t，

∴PH+HD=PD，

∴6 t=4 ，

∴t= ．

情形②如图3中，PG′=PG=2 ，作PM⊥BD于M，QK⊥PD于K，QJ⊥PD′于J．

由sin∠PDG=sin∠GPM= = ，

∴MG′=MG= ，

∴G′D=BD﹣GG′= ，

∵ = = ，

∵∠QPD=∠QPG′，QK⊥PD，QJ⊥PG′，

∴QK=QJ，

∴ = =2，

∴QD= × = ，

∴t= = ，

综上所述t= 或 秒时，△D′PQ与△PQB重叠部分的面积为△DPQ面积的

【解析】（1）利用配方法或公式法求顶点坐标，求出最小AE即可求出点F坐标．（2）如图1中，作点F关于对称轴的对称点F′，连接FF′交对称轴于G，在CF上取一点C′，使得CC′= ，连接C′F′与对称轴交于点N，此时四边形CMNF周长最小．（3）分两种情形①PG∥FB时；②如图3中，PG′=PG=2 ，作PM⊥BD于M，QK⊥PD于K，QJ⊥PD′于J．分别求解即可．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的图象，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点即可以解答此题．