Question

已知两个全等的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图1放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，AB=DE=4．
（1）若纸片△DEF不动，把△ABC绕点F逆时针旋转30°时，连结CD，AE，如图2．
①求证：四边形ACDE为梯形；
②求四边形ACDE的面积．
（2）将图1中的△ABC绕点F按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，直接写出△ABC恰有一边与DE平行的时间．（写出所有可能的结果）

Answer 1

【答案】分析：（1）①求出∠FOD=∠ACB=90°，推出AC∥DE，根据梯形判定推出即可；
②求出FO，求出BO，求出梯形高CO，根据梯形面积公式求出即可；
（2）当t=3时，AC∥DE，当t=12时，BC∥DE，当t=15时，AB∥DE、当t=21时，AC∥DE、当t=30时，BC∥DE，当t=33时，AB∥DE．
解答：（1）①证明：如图2，∵∠BFD=30°、∠EDF=60°，
∴∠FOD=90°=∠ACB，
∴AC∥BD，且AC≠BD，
∴四边形ACDE为梯形；

②解：BC交DE于O，在Rt△FDO中，FD=2，∠OFD=30°
∴FO=，而CF=2-2
∴CO=3-2，
∴S_{四边形ACDE}=×（2+4）×（3-2）=9-6；

（2）解：△ABC恰有一边与DE平行的时间是：3、12、15、21、30、33．
点评：本题考查了勾股定理，梯形的性质和判定，三角形的内角和定理，旋转的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．