题目内容
如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．
【小题1】求抛物线的解析式；
【小题2】若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？
【小题3】当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？
【小题1】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=AB=4．
∴A（4，2），B（0，2），C（－4，0）．
∵抛物线y=ax2+bx+c过点B，∴c=2．
由题意，有
解得
∴所求抛物线的解析式为
．
【小题2】将抛物线的解析式配方，得
．
∴抛物线的对称轴为x=2．
∴D（8，0），E（2，2），F（2，0）．
欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE．即BP=FQ．
∴t=6－3t，即t=
．
【小题3】欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，
∵∠PBO=∠BOQ=90°，∴有
或
，
即PB=OQ或OB2=PB·QO．
①若P、Q在y轴的同侧．当PB=OQ时，t=8－3t，∴t=2．
当OB2=PB·QO时，t(8－3t)=4，即3t2－8t+4=0．
解得
．
②若P、Q在y轴的异侧．当PB=OQ时，3t－8=t，∴t=4．
当OB2=PB·QO时，t(3t－8)=4，即3t2－8t－4=0．解得
．
∵t=
<0．故舍去，∴t=
．
∴当t=2或t=
或t=4或t=秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似．
解析
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