Question

如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）连结AD并延长交BE于点F，若△ABF的面积为，sin∠ABC=，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OC，由EC为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CE，得到一对角互余，由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，由OD垂直于BC，利用垂径定理得到CD=BD，利用SAS得到三角形EDC与三角形EDB全等，由全等三角形的对应角相等得到∠DCE=∠DBE，等量代换并利用垂直的定义得到OB垂直于BE，即可得证；
（2）连接AD并延长，与EB交于F，过D作DG垂直于AB，由OD垂直于DB，利用同角的余角相等得到∠ABC=∠ODG，即sin∠ABC=sin∠ODG，设OB=r，利用锐角三角函数定义表示出OD与OG，利用勾股定理表示出DG，由AO+OG表示出AG，由三角形ADG与三角形AFB相似，由相似得比例，表示出FB，由AB与BF乘积的一半表示出三角形ABF的面积，由已知的面积求出r的值，即为圆的半径．
解答：（1）证明：连接OC，则OC⊥CE，即∠DCO+∠DCE=90°，
∵OB=OC，
∴∠DCO=∠DBO，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
∵在△CDE和△BDE中，

∴△CDE≌△BDE（SAS），
∴∠DCE=∠DBE，
∴∠DBO+∠DBE=90°，即BE与圆O相切；

（2）解：过D作DG⊥AB，可得∠DGB=90°，即∠GDB+∠ABC=90°，
∵∠ODB=90°，
∴∠ODG+∠GDB=90°，
∴∠ABC=∠ODG，
∵∠DGA=∠FBA=90°，
∴DG∥FB，
∴△ADG∽△ABF，
设OB=r，
∵sin∠ABC=sin∠ODG=，
∴OD=OBsin∠ABC=r，OG=ODsin∠ODG=r，
在Rt△OGD中，由勾股定理得：DG=r，
又AG=AO+OG=r+r=r，△ADG∽△ABF，
∴=，即=，
∴BF=r，
∵S_△ABF=AB•BF=r²=，解得：r=3，
∴圆O的半径为3．
点评：此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．