Question

已知：如图，正方形ABCD中，点E是BA延长线上一点，连接DE，点F在DE上且DF=DC，DG⊥CF于G. DH平分∠ADE交CF于点H，连接BH.

（1）若DG=2，求DH的长；

 （2）求证：BH+DH=CH.

Answer 1

1）∵DG⊥CF且DF＝CD

        ∴∠FDG=∠FDC.................1分

        ∵DH平分∠ADE

∴∠FDH=∠ADF.................2分

∴∠HDG=∠FDG-∠FDH=∠FDC-∠ADF

=（∠FDC-∠ADF）=∠ADC=45°....3分

∴△DGH为等腰直角三角形

∵DG=2，

        ∴DH＝  .................5分

     （2）过点C作CM⊥CH, 交HD延长线于点M

          ∵∠1+∠DCH=∠2+∠DCH=90⁰

          ∴∠1=∠2

          又△DGH为等腰直角三角形

          ∴△MCH为等腰直角三角形

∴MC=HC

          又∵四边形ABCD为正方形

∴CD＝CB

          ∴△MCD≌△HCB          .................8分

          ∴DM＝BH

          又∵△MCH为等腰直角三角形

          ∴DM+DH=CH

          ∴BH+DH=CH         .................10分