Question

如图所示，已知抛物线y=x²-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点c．

    (1)求A、B、C三点的坐标．

    (2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．

    (3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理

Answer 1

解：(1)令y=0，得x₂-1=0  解得x=±1

    令x=0，得y=-1

    ∴A(-1，0)  B(1，0)  C(0，-1)

    (2)∵OA=OB=OC=1  ∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°

    ∵AP∥CB，∴∠PAB=45°

    过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形

    令OE=a，则PE=a+1  ∴P(a，a+1)

    ∵点P在抛物线y=x²-1上  ∴a+1=a##2-1

    解得a₁=2，a₂=-1(不合题意，舍去)

    ∴PE=3

    ∴四边形ACBP的面积S=AB·OC+AB·PE=×2×1+×2×3=4

(3)假设存在

    ∵∠PAB=∠BAC=45°  ∴PA⊥AC

    ∵MG⊥x轴于点G，∴∠MGA=∠PAC=90°

    在Rt△AOC中，OA=OC=1  ∴AC=

    在Rt△PAE中，AE=PE=3  ∴AP=

    设M点的横坐标为m，则M(m，m²-1)

    ①点M在y轴左侧时，则m＜-1

    (i)当△AMG∽△PCA时，有

    ∵AG=-m-1，MG=m²-1

    即   解得m₁=-1(舍去)  m₂=(舍去)

    (ii)当△MAG∽△PCA时有

    即   解得：m=-1(舍去)  m₂=-2

∴M(-2，3)

    ②点M在y轴右侧时，则m＞1

    (i)当△AMG∽△PCA时有

    ∵AG=m+1，MG=m₂-1

    ∴

    解得m₁=-1(舍去)  m₂=  ∴

    (ii)当△MAG∽△PCA时有

    即

    解得：m₁=-1(舍去)  m₂=4  ∴M(4，15)

    ∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似

    M点的坐标为(-2，3)，(，)，(4，15)