题目内容

已知：在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，动点P从点A出发，以每秒 $数学公式$ 个单位的速度沿AB方向向终点B运动；同时，动点Q也从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AC方向向终点C运动．设两点运动的时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）连接PQ，在点P、Q运动过程中，△APQ与△ABC是否始终相似？请说明理由；
（2）连接PC，设△PCQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（3）连接PC、BQ，是否存在t的值，使PC⊥BQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）探索：把△PQB沿直线PQ折叠成△PQB′，设QB′与AB交于点E，当△BEQ是直角三角形时，请直接写出t的值．

解：（1）相似
∵∠ACB=90°
∴AB= $\text{[math]}$ =5
∵PA= $\text{[math]}$ ，AQ=t
∴ $\text{[math]}$
∵∠A=∠A
∴△APQ∽△ABC

（2）∵△APQ∽△ABC
∴∠PQA=∠C=90°
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵CQ=4-t
∴S= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$

（3）存在
∵PC⊥BQ
∴∠PCQ+∠BQC=90°
∵∠CBQ+∠BQC=90°
∴∠PCQ=∠CBQ
∵∠PQC=∠BCQ=90°
∴△PCQ∽△QBC
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （舍去） $\text{[math]}$
∴存在t的值为 $\text{[math]}$ ，使PC⊥BQ．

（4）t₁=1， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）已知AC、BC的长，根据勾股定理即可求得AB的长，根据 $\text{[math]}$ ，进而即可求得△APQ∽△ABC；
（2）根据△APQ∽△ABC即可求得 $\text{[math]}$ ，即可求得S关于t的方程式；
（3）先求证△PCQ∽△QBC进而可以得 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ，求得t的值即可解题．
（4）分别用t表示PE、EQ、BQ的值，根据勾股定理即可求得t的值，即可解题．
点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的证明，本题中求△PCQ∽△QBC是解题的关键．