Question

（2012•宽城区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-

3

4

x+3分别交x轴、y轴于A、B两点．点C在第二象限，⊙C与直线AB和x轴分别相切于E、F两点，连接CE、CF．

（1）如图①，点D为线段AB上一点，⊙C的半径为

3

2

．若△CDE∽△BAO，求点D的坐标．
（2）如图②，连接BC，当BC∥x轴时，求点C的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质得CF⊥AF，CE⊥AE，再利用相似的性质由△CDE∽△BAO得到∠CDE=∠OAB，则CD∥AF，于是D点的纵坐标为

3

2

，然后把D点纵坐标代入直线解析式即可得到D点的横坐标；
（2）先确定A点坐标（4，0），B点坐标（0，3），由于⊙C与直线AB和x轴分别相切于E、F两点，得到CF⊥AF，CE⊥AE，所以四边形BCFO为矩形，则CF=OB=3，得到CE=CF=3，
易证得△BCE≌△AOB，则CB=OA=4，然后可写出C点坐标．

解答：解：（1）∵⊙C与直线AB和x轴分别相切于E、F两点，
∴CF⊥AF，CE⊥AE，
∵△CDE∽△BAO，
∴∠CDE=∠OAB，
∴CD∥AF，
∵⊙C的半径为

3

2

，即CF=

3

2

，
∴D点的纵坐标为

3

2

，
把y=

3

2

代入y=-

3

4

x+3得-

3

4

x+3=

3

2

，解得x=2，
∴D点坐标为（2，

3

2

）；

（2）把x=0代入y=-

3

4

x+3得y=3；把y=0代入-

3

4

x+3得-

3

4

x+3=0，解得x=4，
∴A点坐标为（4，0），B点坐标为（0，3），
∵⊙C与直线AB和x轴分别相切于E、F两点，
∴CF⊥AF，CE⊥AE，
∴四边形BCFO为矩形，
∴CF=OB=3，
∴CE=CF=3，
在△BCE和△AOB中

∠BEC=∠AOB ∠EBC=∠OAB CE=OB

，
∴△BCE≌△AOB，
∴CB=OA=4，
∴C点坐标为（-4，3）．

点评：本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；常利用三角形相似或全等求线段的长；明确求点的坐标就是求有关线段的长．