Question

已知：如图所示，已知抛物线y=-x²+bx+c经过点（1，）和点A，过点A的直线y=-x+与y轴交于点B，点C为抛物线上的一个动点，过点C作CD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出点B的坐标；
（3）若S_梯形OBED=，求点C的坐标；
（4）在第一象限内是否存在点P，使得以P、O、B为顶点的三角形与△OBA相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，这些点是否在抛物线上，若在抛物线上，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求抛物线的解析式，只要通过直线的解析式求出A点的坐标，再利用待定系数法就可以求出其抛物线的解析式．
（2）当x=0时代入直线的解析式就可以求出对应的函数值，从而求出点B的坐标．
（3）设出C点的坐标，表示出点E的纵坐标，表示出DE，根据梯形的面积公式建立等量关系就可以求出C点的坐标．
（4）根据两三角形相似的性质，求出P点的坐标，然后代入抛物线的解析式确定是否在抛物线上．
解答：解：（1）当y=0时，0=-x+，解得：x=3，
∴A（3，0）
∴解得：
∴抛物线的解析式为：y=-x²++

（2）当x=0时，y=
∴B（0，）

（3）设C（m，n），则n=-m²+m+
∴C（m，-m²+m+）
E（m，-m+）
∴DE=-m+，OD=m，OB=
∴解得：
m₁=2，m₂=4（舍去）
∴C（2，1+）．

（4）存在．
∵在Rt△AOB中，OA=3，OB=，由勾股定理得AB=2，
∴∠BAO=30°，
当△OBA∽△BOP₁时，
∴∠P₁=30°，∠OBP₁=90°，
∴OP₁=2BO=2，由勾股定理得：BP₁=3，
∴P₁（3，），
当△OBA∽△BP₂O时，
∴∠BOP₂=30°，∠OBP₂=90°，
由勾股定理得：BP₂=1，
∴P₂（1，），
当△OBA∽△P₃BO时，∠BOP₃=30°，∠BP₃O=90°，
∴勾股定理得，BP₃=，OP₃=，利用勾股定理可以求得：P₃F=，OF=，
∴P₃（，），
当△OBA∽△P₄OB时．∠OBP₄=30°∠OP₄B=90°，
∴OP₄=，P₄F=，OF₁=，
∴P₄（，），
P点的坐标分别是：P₁（3，），P₂（1，），P₃（，），P₄（，）．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了用待定系数法求函数的解析式，用解析式求函数的交点坐标，相似三角形的判定与性质，梯形的面积公式的运用．