Question

【题目】如图，分别以的边向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若O为EG的中点，

求证：（1）；

（2）．

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.

【解析】

（1）如图，延长AO到M，使OM=AO，连接GM，延长OA交BC于点H．根据全等三角形的性质得到AE=MG，∠MGO=∠AEO，根据三角形的内角和得到∠MGA+∠GAE=180°，根据正方形的性质得到AG=AB，AE=AC，∠BAG=∠CAE=90°，根据全等三角形的性质得到AM=BC，等量代换即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到∠M=∠EAO，∠M=∠ACB，等量代换得到∠EAO=∠ACB，求得∠AHC=90°，根据垂直的定义即可得到结论．

解：（1）如图，延长AO到M，使OM=AO，连接GM，延长OA交BC于点H．

∵O为EG的中点，

∴OG=OE，

在△AOE与△MOG中，，

∴△AOE≌△MOG（SAS），

∴AE=MG，∠MGO=∠AEO，

∴∠MGA+∠GAE=180°，

∵四边形ABFG和四边形ACDE是正方形，

∴AG=AB，AE=AC，∠BAG=∠CAE=90°，

∴AC=GM，∠GAE+∠BAC=180°，

∴∠BAC=∠AGM，

在△AGM与△ABC中，，

∴△AGM≌△ABC（SAS），

∴AM=BC，

∵AM=2AO，

∴；

（2）由（1）知，△AOE≌△MOG，△AGM≌△ABC，

∴∠M=∠EAO，∠M=∠ACB，

∴∠EAO=∠ACB，

∵∠CAE=90°，

∴∠OAE=∠CAH=90°，

∴∠ACB+∠CAH=90°，

∴∠AHC=90°，

∴AH⊥BC．

即.