Question

【题目】如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D，连接BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连接AC．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD=OB=4，求弦AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OE，

∵CD与圆O相切，

∴OE⊥CD，

∴∠CEO=90°，

∵BE∥OC，

∴∠AOC=∠OBE，∠COE=∠OEB，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠AOC=∠COE，

在△AOC和△EOC中，

，

∴△AOC≌△EOC（SAS），

∴∠CAO=∠CEO=90°，

则AC与圆O相切；

（2）

解：在Rt△DEO中，BD=OB，

∴BE=OD=OB=4，

∵OB=OE，

∴△BOE为等边三角形，

∴∠ABE=60°，

∵AB为圆O的直径，

∴∠AEB=90°，

∴AE=BEtan60°=

【解析】（1）连接OE，根据CD与圆O相切，利用切线的性质得到OE垂直于CD，再由OC与BE平行，得到同位角相等与内错角相等，根据OB=OE，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到夹角相等，再由OA=OE，OC=OC，利用SAS得到三角形AOC与三角形EOC全等，利用全等三角形对应角相等得到∠OAC=∠OEC=90°，即可得证；
（2）根据题意得到EB为直角三角形斜边上的中线，求出EB的长，再由OE=OB=EB得到三角形OEB为等边三角形，求出∠ABE=60°，根据AB为圆O直径，利用直径所对的圆周角为直角得到三角形AEB为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出AE的长即可．