Question

已知正方形ABCD的边长为4，P、Q分别为AB、AD上的点，且PC⊥PQ，PA：PB=1：3，则PQ=

5

4

；S_{四边形PQDC}=

77

8

．

Answer 1

分析：首先根据题意画出图形，由正方形ABCD的边长为4，PA：PB=1：3，即可求得PA与PB的长，由勾股定理，即可求得PC的长，又由PC⊥PQ，可证得△APQ∽△BCP，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得PQ的长，继而求得AQ的长，然后可求得△APQ与△BCP的面积，由S_{四边形PQDC}=S_{正方形ABCD}-S_△PAQ-S_△PBC，即可求得S_{四边形PQDC}的值．

解答：解：如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=AD=BC=4，
∵PA：PB=1：3，
∴PA=1，PB=3，
∴PC=

PB2+BC2

=5，
∵PC⊥PQ，
∴∠APQ+∠BPC=90°，
∵∠APQ+∠AQP=90°，
∴∠AQP=∠BPC，
∴△APQ∽△BCP，
∴

AP

BC

=

PQ

PC

，
即：

1

4

=

PQ

5

，
∴PQ=

5

4

，
∴AQ=

PQ2-AP2

=

3

4

，
∴S_△PAQ=

1

2

PA•AQ=

1

2

×1×

3

4

=

3

8

，S_△PBC=

1

2

PB•BC=

1

2

×3×4=6，S_{正方形ABCD}=16，
∴S_{四边形PQDC}=S_{正方形ABCD}-S_△PAQ-S_△PBC=16-

3

8

-6=

77

8

．
故答案为：

5

4

，

77

8

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质以及勾股定理等知识．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意判定△APQ∽△BCP，利用相似三角形的性质求解．