题目内容

已知x，y，z都是大于0且小于1的实数，则x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）的值

A.
大于1
B.
等于1
C.
小于1
D.
大于或等于1

C
分析：作边长为1的等边三角形，在AC、AB、BC上分别取点D、E、F，再设BF=x，AE=y，CD=z，然后表示出△BEF、△AED、△CDF的面积，再根据三个三角形的面积之和小于△ABC的面积列式计算即可得解．
解答：

解：如图，作边长为1的等边三角形，
设BF=x，AE=y，CD=z，
则S_△BEF= $\text{[math]}$ BF•BE= $\text{[math]}$ x• $\text{[math]}$ （1-y）= $\text{[math]}$ x（1-y），
同理：S_△AED= $\text{[math]}$ y（1-z），
S_△CDF= $\text{[math]}$ z（1-x），
S_△ABC= $\text{[math]}$ ×1× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵S_△BEF+S_△AED+S_△CDF＜S_△ABC，
∴ $\text{[math]}$ x（1-y）+ $\text{[math]}$ y（1-z）+ $\text{[math]}$ z（1-x）＜ $\text{[math]}$ ，
∴x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1．
故选C．
点评：本题考查了等边三角形的性质，此题灵活性较强，但难度不大，考虑到利用等边三角形和三角形的面积求解是解题的关键．