Question

【题目】如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，取的中点，的延长线与的延长线交于点．

求证：是的切线；

若，，求的长．

Answer 1

【答案】证明见解析；．

【解析】

（1）先由圆周角定理得出∠BAC=90°，再由斜边上的中线性质得出AE=CD=CE=DE，由CD是切线得出CD⊥OC，即可得出OA⊥AP，周长结论；
（2）先证明△AOC是等边三角形，得出∠ACO=60°，再在Rt△BAC和Rt△ACD中，运用锐角三角函数即可得出结果．

证明：连结，；如图所示：

∵是的直径，

∴，

∴，

∵是的中点，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵是的切线，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵是上一点，

∴是的切线；解：由知．

在中，∵，，

即，

∴；

∴，

∴，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

在中，∵，，，

∴，

又∵在中，，，

∴．