题目内容

设关于x的二次方程（k²-6k+8）x²+（2k²-6k-4）x+k²=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．

解：原方程可化为（k-4）（k-2）x²+（2k²-6k-4）x+（k-2）（k+2）=0，[（k-4）x+（k-2）][（k-2）x+（k+2）]=0．
∵（k-4）（k-2）≠0
∴x₁= $\text{[math]}$ ，
x₂= $\text{[math]}$ ；
∴k-4= $\text{[math]}$ （x₁≠-1）①
k-2= $\text{[math]}$ （x₂≠-1）②
由①②消去k，得 x₁•x₂+3x₁+2=0．
∴x₁（x₂+3）=-2．
由于x₁，x₂都是整数．
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴k=6，3， $\text{[math]}$ ．
经检验，k=6，3， $\text{[math]}$ 满足题意．
分析：求出二根x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ，从中消去k得x₁x₂+3x₁+2=0，分解得x₁（x₂+3）=-2．借助方程组得k=6，3， $\text{[math]}$ ．
点评：本题方程整理成关于x的一元二次方程的一般形式后，二次项系数不为0 是隐含的条件，应考虑．将参数k用方程两根表示并最终消去参数k是解题的关键．