Question

如图，已知抛物线C₁：y=a（x+2）²-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；
（2）如图（1），将抛物线C₁绕点B旋转180°后得到抛物线C₂，求C₂的解析式；
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C₁绕点Q旋转180°后得到抛物线C₃．抛物线C₃的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标？

Answer 1

解：（1）由抛物线C₁：y=a（x+2）²-5得，
顶点P的为（-2，-5），
∵点B（1，0）在抛物线C₁上，
∴0=a（x+2）²-5，
解得，a=；

（2）∵抛物线C₂是由抛物线C₁绕点B旋转180°得到的，P点坐标为（-2，-5）
∴顶点M的坐标为（4，5）
∴设抛物线C₂的解析式为：y=a（x-4）²+5，
又抛物线C₂过点B（1，0），代入B点解得：a=-，
故C₂的解析式为：y=-（x-4）²+5．

（3）∵抛物线C₃由C₁绕点x轴上的点Q旋转180°得到，
∴顶点N、P关于点Q成中心对称，
∴点N的纵坐标为5，
设点N坐标为（m，5），
作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G
作PK⊥NG于K，
∵旋转中心Q在x轴上，
∴EF=AB=2BH=6，
∴FG=3，点F坐标为（m+3，0）．
H坐标为（-2，0），K坐标为（m，-5），
根据勾股定理得：
PN²=NK²+PK²=m²+4m+104，
PF²=PH²+HF²=m²+10m+50，
NF²=5²+3²=34，
①∠PNF=90°时，PN²+NF²=PF²，解得m=，
∴Q点坐标为（ ，0）．
②当∠PFN=90°时，PF²+NF²=PN²，解得m=，
∴Q点坐标为（ ，0）．
③∵PN＞NK=10＞NF，
∴∠NPF≠90°
综上所得，当Q点坐标为（ ，0）或（ ，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．
分析：（1）由抛物线C₁：y=a（x+2）²-5得顶点P的为（-2，-5），把点B（1，0）代入抛物线解析式，解得，a=；
（2）抛物线C₁绕点B旋转180°后得到抛物线C₂，故可设抛物线C₂的解析式为：y=a（x-4）²+5，又抛物线过点B（1，0），代入即可求出答案；
（3）根据抛物线C₃由C₁绕点x轴上的点Q旋转180°得点N的纵坐标为5，设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K，可求得EF=AB=2BH=6，FG=3，点F坐标为（m+3，0），H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），
根据勾股定理得：PN²=NK²+PK²=m²+4m+104，PF²=PH²+HF²=m²+10m+50，NF²=5²+3²=34．
分三种情况讨论，利用勾股定理列方程求解即可．①当2∠PNF=90°时，PN²+NF²=PF²，解得m=，即Q点坐标为（ ，0）；
②当∠PFN=90°时，PF²+NF²=PN²，解得m=，
∴Q点坐标为（ ，0），
③PN＞NK=10＞NF，所以∠NPF≠90°
综上所得，当Q点坐标为（ ，0）或（ ，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．
点评：本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要利用直角三角形的性质和二次函数的性质把数与形有机的结合在一起，利用勾股定理作为相等关系求解．