Question

如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AE=2EB，EF=ED，∠FED=60°．
（1）△BFE与△AED全等吗？请说明理由；
（2）FE⊥AB吗？请说明理由．

Answer 1

解：（1）△BFE≌△AED．
理由：∵∠B=∠FED=60°，
∴∠BFE+∠FEB=∠FEB+∠AED，
∴∠BFE=∠AED．　
又∵∠B=∠A，EF=ED，
∴△BFE≌△AED（AAS）．

（2）FE⊥AB．
理由是：取BF的中点G，连接EG，则BF=2BG．
由（1）知，AE=BF，∴AE=2BG．
又AE=2EB，∴BE=BG．
∵∠B=60°，∴△EBG是等边三角形．
∴GE=GB=GF，
∴∠B=∠GEB，∠GEF=∠GFE．
由三角形内角和定理，知
2∠GEB+2∠GEF=180°，
即∠BEF=90°，FE⊥AB．
分析：（1）由∠B=∠FED=60°推出∠BFE=∠AED，再由∠B=∠A，EF=ED即可得到答案；
（2）取BF的中点G，连接EG，得出△EBG是等边三角形，推出EG=BG=GF，根据等边对等角和三角形的内角和定理即可∠BEF=90°，即可得出答案．
点评：本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，作辅助线证角之间的关系是解此题的关键．题型较好，综合性强．