Question

如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=2，BC=2

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，对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点F、E．
（1）证明：当旋转角度为90°时，四边形ABFE是平行四边形．
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总是保持相等．
（3）在旋转过程中四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由，并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

Answer 1

分析：（1）根据旋转角可得∠AOE=90°，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥EF，再根据平行四边形的对边平行可得AE∥BF，然后根据平行的四边形的定义即可得证；
（2）根据平行四边形的对角线互相平分可得AO=CO，两直线平行，内错角相等可得∠EAO=∠FCO，然后利用“角边角”证明△AOE和△COF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，从而得到四边形AECF为平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；
（3）连接BE、DF，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，从而得到EF和BD互相平分，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判断当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，再利用勾股定理列式求出AC，根据平行四边形的对角线互相平分求出OA=2，然后求出∠AOB=45°，再求出∠AOE=45°，即旋转角为45°．

解答：（1）证明：当AC旋转90°时，∠AOE=90°，
∴AB∥EF，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形；

（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，

∠AOE=∠COF AO=CO ∠EAO=∠FCO

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF=CE；

（3）解：四边形BEDF是菱形．
理由如下：连结BE、DF，由（2）中可知，△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴EF和BD互相平分，
∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，
在Rt△ABC中，AC=

BC2-AB2

=

(2 5 )2-22

=4，
∴OA=

1

2

AC=2，
又∵AB⊥AC，OA=AB，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOE=45°，
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．

点评：本题是几何变换综合题型，主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及旋转的性质，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．