Question

当n=1，2，3，…，2003时，求所有二次函数y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1的图象与x轴上所截得的线段长度之和．

Answer 1

分析：根据二次函数与x轴两交点间的距离公式，列出关于n的表达式，将n=1，2，3，…，2003分别代入表达式，求出n等于不同值时两点间的长度，再计算其和即可．

解答：解：因为△=（2n+1）²-4（n²+n）=4n²+1+4n-4n²-4n=1＞0，
所以无论n为何值，二次函数与x轴均有两个交点．
二次函数y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1的图象与x轴上所截得的线段长为|x₁-x₂|=

1

|n2+n|

，
当n=1，n=2，n=3，…，2003时，
二次函数y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1的图象与x轴上所截得的线段长分别为：

1

2

，

1

6

，

1

12

，

1

20

，

1

30

，

1

42

，…，

1

2003×2004

，
于是所有线段的长度之和为：

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

20

+

1

30

+

1

42

+…+

1

2003×2004

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+

1

5

…+

1

2003

-

1

2004

=1-

1

2004

=

2003

2004

．
故答案为：

2003

2004

．

点评：此题考查了二次函数图象与x轴交点间的距离公式的应用，此题在计算时要找到数字的变化规律，使计算简便．
[相关链接]二次函数y=ax²+bx+c图象与x轴交点间的距离公式：|x₁-x₂|=

△

|a|

．