题目内容

已知关于x的一元二次方程 $数学公式$ 有两个相等的实数根．
求证：（1）方程x²+px+q=0有两个不相等的实数根；
（2）设方程x²+px+q=0的两个实数根是x₁，x₂，若|x₁|＜|x₂|，则 $数学公式$ ．

证明：（1）∵一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个相等的实数根，
∴（-2 $\text{[math]}$ p）²-4×5×5q=0，
整理得6p²-25q=0，即p²= $\text{[math]}$ q，且q＞0，
∴对于方程x²+px+q=0，△=p²-4q= $\text{[math]}$ q-4q= $\text{[math]}$ q，
∵q＞0，
∴△＞0，
∴方程x²+px+q=0有两个不相等的实数根；

（2）∵6p²-25q=0，
∴q= $\text{[math]}$ ，
∴x²+px+ $\text{[math]}$ =0，即25x²+25px+6p²=0，
∴（5x+3p）（5x+2p）=0，
∵|x₁|＜|x₂|，
∴x₁=- $\text{[math]}$ ，x₂=- $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由于一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个相等的实数根，根据判别式的意义得到（-2 $\text{[math]}$ p）²-4×5×5q=0，则6p²-25q=0，即p²= $\text{[math]}$ q，且q＞0，再计算方程x²+px+q=0的△=p²-4q= $\text{[math]}$ q-4q= $\text{[math]}$ q，由q＞0得到△＞0，可判断方程x²+px+q=0有两个不相等的实数根；
（2）由6p²-25q=0得q= $\text{[math]}$ ，代入方程x²+px+q=0整理得到25x²+25px+6p²=0，即（5x+3p）（5x+2p）=0，由于|x₁|＜|x₂|，则x₁=- $\text{[math]}$ ，x₂=- $\text{[math]}$ ，即可得到两根的比值．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁•x₂= $\text{[math]}$ ．也考查了一元二次方程根的判别式．