Question

（2012•滨海县二模）如图所示，AB是⊙O的直径，AB=4，D是⊙O上的一点，∠ABD=30°，OF∥AD交BD于点E，交⊙O于点F．
（1）求DE的长度；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析：（1）利用圆周角定理、余弦三角函数的定义求得BD=2

3

；然后由三角形中位线的定义证得点E是线段BD的中点，即DE=

1

2

BD=

3

；
（2）阴影部分的面积=扇形OFB的面积-△OBE的面积．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∠ABD=30°，AB=4，
∴BD=AB•cos∠ABD=4×

3

2

=2

3

；
∵OF∥AD，点O是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴点E是线段BD的中点，
∴DE=

1

2

BD=

3

；

（2）由（1）知，∠ADB=90°．
∵∠ABD=30°，
∴∠DAB=60°（三角形内角和定理）；
又∵OF∥AD，
∴∠EOB=∠DAB=60°（两直线平行，同位角相等）；
∵OB=

1

2

AB=2，
∴S_扇形OBF=

60π×22

360

=

2

3

π；
由（1）知，DE=

1

2

BD，
∴BE=

1

2

BD=

3

，
∴S_△OBE=

1

2

OB•BEsin∠EBO=

1

2

×2×

3

×

1

2

=

3

2

，
∴S_阴影=S_扇形OBF-S_△OBE=

2

3

π-

3

2

．

点评：本题综合考查了圆周角定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识点．解答该题也可以根据平行线的性质、垂径定理解题．