Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，，，，点的坐标为.抛物线经过、两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是直线上方抛物线上的一点，过点作垂直轴于点，交线段于点，使最大.

①求点的坐标和的最大值.

②在直线上是否存在点，使点在以为直径的圆上；若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，；②存在；或

【解析】

（1）根据B点坐标求出C点坐标，再根据正切定义确定A点坐标，利用待定系数法求抛物线的解析式；

（2）①因为P在抛物线上，E在直线AB上，先求出直线AB的表达式，因为PE∥y轴，所以将P和E均用P点横坐标表示，利用两点之间的距离公式表示PE长，用二次函数的最值性质求解；②根据圆周角定理，实际就是满足，设M点坐标，利用两点之间距离公式，求出AM,BM,AB的长，利用勾股定理列方程求解.

（1）解：（1）

，

，

，

中，，

，，

，

把和代入得：，

解得：，

抛物线的解析式为：；

（2）①如图，设直线AB的表达式为y=mx+n,

，，

∴ ,

解得，

∴的解析式为：，

设，则，

当时，，此时

②在直线上，且，

设

，

点在以为直径的圆上

此时，

，

解得，

或.