Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D．过C点作CG⊥AB于G，交AD于E．过D点作DF⊥AB于F．下列结论：①∠CED=∠CDE；②S_△AEC：S_△AEG=AC：AG；③∠ADF=2∠FDB；④CE=DF．其中正确的结论是

1. A.
   ①②④
2. B.
   ②③④
3. C.
   只有①③
4. D.
   ①②③④

Answer 1

A
分析：由∠C=90°，CG⊥AB，得∠ACE=∠B，再由外角的性质，得∠CED=∠CDE，得CE=CD；
根据角平分线的性质，得CD=DF，则S_△AEC：S_△AEG=AC：AG；得CE=DF，从而得出答案．
解答：∵∠ACE+∠BCG=90°，∠B+∠BCG=90°
∴∠ACE=∠B
∵∠CED=∠CAE+∠ACE，∠CDE=∠B+∠DAB
∴∠CED=∠CDE
∴CE=CD
又AE平分∠CAB
∴CD=DF
∴S_△AEC：S_△AEG=AC：AG；CE=DF
无法证明∠ADF=2∠FDB．
故选A．
点评：此题主要考查角平分线的性质、直角三角形的性质和三角形的面积计算．