Question

如图，已知AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，CD与BE相交于点F，求证：AF平分∠BAC．

Answer 1

分析：通过全等三角形的判定定理AAS证得△AEB≌△ADC，则对应边AE=AD；然后由HL推知Rt△ADF≌Rt△AEF，在对应角∠DAF=∠EAF，即AF平分∠BAC．

解答：证明：如图，∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
∴在△AEB与△ADC中，

∠AEB=∠ADC ∠EAB=∠DAC AB=AC

，
∴△AEB≌△ADC（AAS），
∴AE=AD．
∴在Rt△ADF与Rt△AEF中，

AE=AD AF=AF

，
∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），
∴∠DAF=∠EAF，即AF平分∠BAC．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．