Question

如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D在边AB上，DE平分∠CDB交边BC于E，EM是线段BD的垂直平分线．
（1）求证：；
（2）若AB=10，cosB=，求CD的长．

Answer 1

（1）证明：∵EM是线段BD的垂直平分线，
∴ED=EB，
∴∠EDB=∠B，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE=∠EDB，
∴∠CDE=∠B，
∵∠DCE=∠BCD，
∴△CDE∽△CBD，
∴，
∵ED=EB，
∴；

（2）解：∵∠ACB=90°，AB=10，cosB=，
∴AC=6，BC=8，
∵EM是线段BD的垂直平分线，
∴DM=BM，
∴，
∴，
即CD=，
∵cosB==，
∴CD=4×=5．
分析：（1）由EM是线段BD的垂直平分线，可证得∠EDB=∠B，又由DE平分∠CDB，可证得∠CDE=∠B，继而可证得△CDE∽△CBD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
（2）由∠ACB=90°，AB=10，cosB=，可求得AC=6，BC=8，又由，则可求得CD=，继而求得答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．