题目内容

如图，直线l：y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为双曲线 $数学公式$ 上一点，过P作x轴的垂线，垂足为C，延长CP交直线l于D，过P作y轴的垂线交直线l于E，且AE•BD=6，则k的值为________．

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分析：明白直线y=x+1与x轴的夹角的锐角为45°，再通过把AE，BD构造在等腰直角三角形中，且利用在等腰直角三角形中斜边为直角边的 $\text{[math]}$ 倍，设出点P的坐标（x_P，y_P）后，用点P的纵横坐标表示有关线段，利用AE•BD=6，求出k=x_P×y_P=3．
解答：

解：如图，作出EF⊥AC于点F，BH⊥CD于点H，
由于直线l的解析式为y=x+1，
所以直线与x轴的夹角的锐角为45°，
所以△AFE，△BHD均为等腰直角三角形，
设点P的坐标为（x_P，y_P），
则点D的坐标为（x_P，x_P+1），点B的坐标为（0，1），点A的坐标为（-1，0），
DH=x_P+1-1=x_P，BD= $\text{[math]}$ DH= $\text{[math]}$ x_P，EF=y_P，AE= $\text{[math]}$ EF= $\text{[math]}$ y_P，
∵AE•BD=6，
∴ $\text{[math]}$ x_P× $\text{[math]}$ y_P=6，
即k=x_P×y_P=3．
点评：本题是一道用待定系数法求反比例函数的解析式的变型，学生要灵活掌握．